線形代数の授業と教科書の説明によると、行列の左乗は行の変換であり、行列の右乗は列の変換です。
しかし、数学的な抽象力が足りない私にとっては、このような言い方では具体性が不足しており、理解するのに障害があるように思えます。
そこで、私は数時間を費やして、この単純な概念を研究し続けましたが、ようやく少し理解が深まりました。
まず、変換とは何かについて話しましょう。#
前述のように、行列の左乗は行の変換であり、行列の右乗は列の変換ですが、この変換は何に対して行われるのでしょうか？また、どのようにして変換という操作が形成されるのでしょうか？
私たちは、行列とベクトルの乗法の一般的な形式を以下のように知っています。
Ax=b
ここで、A は行列であり、x は列ベクトル、b も列ベクトルです。
そして、上記の形式は、私たちが過去に学んだある概念と類似しています。それは関数です。関数の形式を思い出してみましょう。
f(x)=b
高校で学んだ知識に基づくと、x と b はある値であるはずですが、高等数学では、議論の範囲がベクトルに大きく拡張されています。つまり、関数の入力は必ずしも数値である必要はなく、関数の出力も必ずしも数値である必要はありません。
関数の入力と出力はベクトルであることがあります。これは実際には多変数関数のおおまかなイメージですし、Ax=b は多変数関数の一つの表現形式に過ぎません。
実際、上記の説明にはいくつかの細かい点があり、概念的に厳密ではないということがあります。つまり、f (x)=b、または Ax=b は方程式であるべきであり、f (x)=Ax が関数の表現式であり、b は値域上の値です。これについてはまた別の話題ですので、時間があるときにゆっくり話しましょう。
前の話題を続けましょう。私たちは A が実際には変換であることを知りました。それはベクトル x をベクトル b に変換します。しかし、このような理解ではまだ抽象的すぎます。なぜベクトル x と行列 A の乗算によってベクトル b になるのでしょうか？
ここで、関数の概念を振り返る必要があります。関数の標準的な概念に従えば、関数は集合上の数を別の集合上の数に写すものです。同様に、多変数関数の場合、関数は空間上のベクトルを別の空間上のベクトルに写すものです（ここでまた別の問題が生じますが、空間とは何か、これは大きな話題であり、一時的にはベクトルの集合と理解してください）。
つまり、ある空間のベクトル x が A によって別の異なる空間のベクトル b に写されるということです。これが変換です。