关于矩阵的左乘和右乘的迷雾

根据线代课以及教科书上的介绍，矩阵的左乘是行变换，矩阵的右乘是列变换。
但对于我这个数学抽象力不够的弱鸡来说，这样的说法总是不够具体，理解起来似乎有个绊子。
于是我花了几个小时，就为了这简单的概念不断琢磨，总算是有些头绪。

先来谈谈什么是变换？

上文提到，矩阵的左乘是行变换，矩阵的右乘是列变换，那么这个变换是对谁变换？以及怎么形成变换这个操作？
我们知道，矩阵和向量的乘法的常见形式如下
Ax=b
其中 A 就是矩阵，x 是列向量，b 也是列向量。
而上面的形式和我们过去学的某个概念有相近之处，那就是函数，回想一下函数形式
f(x)=b
根据高中所学的知识，x 和 b 应该是某一个数值，但是到了高等数学，讨论范围已经大大拓展到了向量，也就是说，函数的输入不一定是数值，函数的输出同样不一定是要数值。
函数的输入和输出可以是一个向量，这其实就是多元函数的大致印象，而 Ax=b 就是多元函数的其中一种表达形式而已。

其实上面的说法有一些细节存在概念上的不严谨，即 f (x)=b，或者说 Ax=b 应该是方程而不是函数，f (x)=Ax 才是函数的表达式，而 b 则是值域上的值。展开来说又是一个小话题，以后有时间可以慢慢来谈。

继续原来的话题，我们知道了 A 其实是一种变换，它将向量 x 变成了向量 b。但是这样的理解还是太抽象了，怎么向量 x 和矩阵 A 做个乘法就成了向量 b 呢？
这里需要回顾函数的概念，按照函数的标准概念，函数是一个集合上的数映射到另一个集合上的数。类比的，对于多元函数来说，函数是一个空间上的向量映射到另一个空间的向量（这里又衍生了一个问题，空间是什么，这是大的话题，可以暂时理解为所有向量组成的集合）。
也就是说在一个空间的 x 向量通过 A 变换，映射到了另一个不同空间的 b 向量，这就是变换。